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数学

傍晚5点,夕阳斜照进运输公司,我的工作便开始了。 工作台洁净如实验室。电脑屏幕上的GPS光点如星群闪烁,左侧插座连着我的手机充电线,小风扇无声转动——这里没有鱼腥味,因为我们只是中转站,不存放渔产。单据、信封、计算器在台面上一字排开,单据按照数字顺序排列是我的仪式。 一切都有其位置,就像数学坐标系。每个点都必须准确,因为这里不允许错误。 我的工作简单到可以用一句话概括:确保每辆货车上装的鱼箱数量,与单据上的数字完全一致。但这简单的“一致”背后,却需要不少的耐心。 罗里已经关好每一个箱门。我计算的单据总和为238盒,但头手却在电话里嘟囔:“搬运工才算到236盒而已。”只此,我与头手一张一张单据重新计算、记录,发现81号总数多了两盒——原来是搬运工起货时漏记了两盒。 工作教会我对生活保持认真 这样的事情几乎每天都在发生。可能是装车时点错了数,可能是单据被海水打湿字迹模糊,也可能是地方起的箱子计数混乱。而我的工作,只是确保单据与货物的数量相等,找出那个失踪的数字。 同事们常说:“还在上学,何必做工,浪费时间把自己弄得好忙。”他们不知道,正是这种短暂的工作时长,让我更珍惜每个时刻。就像解数学题,不需要漫长煎熬,只要抓住关键节点。我的工作台因此与众不同:它没有渔寮的潮湿,没有繁杂的计算,它简单、高效,只是在简单的计算中让我的大脑不在荒废中杂草丛生。 最后离开时,我总会将台面收拾得比来时更整齐。计算器归零,单据归档,椅子推入——这不是公司的规定,而是我的告别仪式。推开玻璃门,太阳落得正好。 这个工作台教给我的,不是如何生存,而是如何思考并做好计划。所谓积少最终成多,看似相差分毫,久而久之便会相距千里。所以,再微小的数字都值得认真对待,因为每个数字背后,都是真实的人生。而我选择在中学开始兼职的意义,或许就是在不知不觉中,可以让工作教会我对生活、事物保持认真。
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让我开始关注瑞典教育的契机,是瑞典政府于2022-2023年推行的“去数码化”政策。简而言之,这项政策强调回归传统学习方式(主要依赖课本),而非全面使用数码工具。这一举措在当前数码化浪潮下显得尤为突出,甚至带有某种“逆行”的意味。究竟是怎样的教育本质,让瑞典政府有足够的信心做出如此颠覆性的决定? 《思辨是我们的义务》一书由旅居瑞典的台湾教师吴媛媛撰写,记录了她对瑞典教育的观察与反思。书中探讨了瑞典与台湾教育的异同,并揭示了瑞典教育系统的核心理念。 瑞典的教育核心理念不仅在于知识教育,还包括民主教育。换言之,他们的目标是培养出既能独立工作又能参与民主社会的公民。知识教育主要让学生具备专业技能,而民主教育则强调思辨能力、批判性思维和社会责任感。这一理念并不仅局限于某一门课程,反而是贯穿所有学科的。书中以瑞典高中高职生必修的三门核心课程——语文、历史与数学——为例,探讨这些学科如何同时传授知识和培养公民素养。 语言是通往其他知识的基本工具 一般上,学校会将性教育、媒体识读、公民教育等以单一课程教授,但这种做法过于刻意,难以真正引起青少年的兴趣,因此成效有限。在瑞典,这些“独门”知识都涵盖在语言课中,因为瑞典政府将语言视为“通往其他知识的基础工具”。语言能力不仅决定了学生未来是否能更轻易获取新知识,也影响他们在民主社会中表达观点、参与公共讨论的能力。 如果你质疑文学教育与民主素养有何关联,瑞典老师会告诉你:“关系可大了!我甚至认为,没有其他课程能比文学课更民主。当孩子读完一本书、一首诗,或看完一出戏,却发现每个人的解读与感受截然不同,这种对个体差异的察觉,就是民主的第一步!” 读历史,更要质疑历史 历史老师从来都不会跟我们说历史是各代史家根据自身观点对过去赋予意义,我们所念的“历史”其实并不完全客观。此外,历史可以迅速凝聚认同,但同时也能煽动仇恨。关于后者,我国各族人民应该都能深有体会,这也是历史遭政客滥用的风险所在。因此,在学习历史前,首要之务是意识到这些潜在问题,并学会以谨慎的眼光看待被人创造出来的历史知识。 这也就是为什么瑞典高中历史课本第一章谈的是历史的本质,第二章是史料批判。他们认为,在进入那些钜细靡遗的人类流水账之前,必须要先让学生了解历史的意义、用途和风险。 另外,我们的历史课本多着重那些发生在帝王将相、菁英绅士身上或列强帝国的重大事件,可是大部分的人类历史是由一般老百姓——也就是像你我这样的普通人——所构成,为什么现在我们学的历史却甚少提起这群人。可见,我们用来构成世界观的知识,实际上相当偏颇且有限。 瑞典高中历史课将“劳工运动史”列为必修,而且篇幅不小,这也反映出为什么瑞典对劳工权益和工会组织如此重视。瑞典国内百年来的劳工运动被安排在〈瑞典的民主化过程〉这一章节,说明了劳工史在瑞典民主化过程中扮演了举足轻重的角色。 数据素养:不只是计算,还要懂得解读 同样地,数学作为另一门基础学科,也蕴含著重要的思维训练——不只是计算,还有如何解读数据与理解数学的本质。 瑞典高中数学科的全国统一考试除了演算题外,还包含许多叙述式的问答题,而其中一部分便是“数据、图表与地图”。“这部分的考题内容包罗万象,多为贴近生活的常识性问题,但都有一定的复杂度,主旨是测试学生是否有耐心把资料图表解读透彻,并且能避开常见的数据陷阱。” 以我国的标准,这类考题或许更接近经济科,但在瑞典,却被纳入数学考试中。为什么?因为他们认为,无论学生将来是否会上大学或从事任何行业,数学概念都会在个人经济生活中不断出现,因此,瑞典高中社会科和数学科在这部分提供了学生基本的概念和练习机会。 环环相扣的完善教育 在瑞典,所有科目都是民主与思辨教育的一环,每一位老师都是公民素养的培育者。我们可以看见瑞典政府在设计课纲上显得格外用心,试图将看似独立的学科综合起来,让学生学习的不再是一门门毫不相关的科目,而是一套可以串连每个部分的完善教育。再者,他们的教育体系展示了知识与民主的完美融合。这不仅是一种教学方法的选择,更是一种对学生身心全面发展的关注。这样的模式不仅有助于培养未来的创新者,也能够培养出具有社会责任感和批判性思维的公民,为我国的教育体系提供了宝贵的借鉴。 更多【新教育】: 陪选手走过低潮高峰,运动心理学家刘金峰:运动员也是人 抗蛇毒血清 小小一瓶竟是解毒剂 稚气未脱却久经沙场 幼狮队舞出风采
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叶振瀚还在就读小学六年级,但已越级报考国际中学的数学,还取得很优异的成绩。他超群的数学思维能力得归功于他的父亲,因为他父亲在大学数学系任教,从他还很小的时候,就以自己一套方法带领他走上数学探索之旅。 报道:本刊 梁慧颖 摄影:本报 赖国华 儿子还很小时,叶逸骏就注意到儿子喜欢玩益智游戏,而且总是能够轻易完成各种挑战。身为父亲,尤其是在大学教数学的父亲,他知道儿子的逻辑思维正是数学需要的核心能力,所以他决定栽培儿子开发最大潜能。 他当时有两道难题:第一道难题是不知道要不要采取一般做法,教孩子数学公式和技巧,并且要孩子勤刷题,但他担心这么做只会让孩子对数学背后的原理了解甚少。第二道难题则是该如何让孩子理解数学,但又不至于令孩子对数学感到厌倦? 对于第一个难题,他考虑后决定从公理(Axiom)而不是公式开始教孩子数学,这意味着他需要从逻辑着手教数学,而不是数字。 至于第二道难题,他不认为如果跟3岁的孩子说,“学数学是为了20年后的事业着想”,孩子能够明白这个道理,因此,他知道自己必须想办法激发孩子对数学的兴趣,才能驱动孩子发自内心想要学习。 坚持用代数解题 当儿子还是婴幼儿时,叶逸骏先通过图卡训练儿子的空间概念和逻辑能力。当儿子4岁,他就开始通过集合论(Set theory)教儿子分类,然后用代数讲解集合(set)的元素(elements),以及如何运用逻辑来构建问题。当儿子有了信心,他就让儿子试做奥数(奥林匹克数学的简称)还有大学数学测验的题目来挑战自己。 曾经有段时间,他送儿子到专门教奥数的中心上课。他说,奥数班的教学法跟他要孩子以代数解题的方法很不一样,奥数班老师说他的那套方法“太慢了”,他们的做法是强迫孩子记忆一连串包含“试错”的步骤来解题,这样做的原因是比起使用代数,孩子能够更快得到答案。 如果要以最快速度得到答案,他同意奥数班这种训练有素的猜题方法确实有效,但是当奥数题目的难度提高,这种方法就会渐趋下风。更重要是他认为,严谨的科学家绝对不会靠猜测来论证,所以他坚持要儿子振瀚在奥数使用代数。 “振瀚的探索之旅就从代数开始,逐渐深入几何,接着进入微积分。他从基本公理开始,学习并理解所有数学概念,了解定理(Theorem)从何而来。” 不为学习设限 叶逸骏还有一种做法与传统教法不同,那就是他不会给儿子的学习设定界线,不会教到一半跟孩子说:“这是大学的数学,这部分我先不解释,留待你以后上大学才学。” 他解释,如果他常常只是点到即止的话,儿子难免会有疑问,仿佛见树不见林。因此他教儿子数学时,不会分小学数学、中学数学或大学数学,只要儿子能理解,他就会继续教、继续延伸。 当然,他不要求儿子必须完全明白高深的数学,只要他能够掌握概念就已不错。而振瀚因为数学底子强,常常一点就通,绝不揠苗助长。 为了不让孩子觉得数学乏味,他还会跟儿子分享古代数学家的生平故事,还有数学的发展史及数学的实际用途。如果孩子能明白数学跟人类的进步息息相关,就不会困惑学数学到底是为了什么。 成奥数领奖台熟面孔 毫无意外的,叶振瀚是国际数学竞赛的熟面孔,从2021年至今,他每年在新加坡亚洲学校数学奥林匹克竞赛(SASMO)都有所斩获,在美国数学奥林匹克(AMO)、澳洲AMC等数学竞赛也都得过奖。 目前他还在吉隆坡黎明华小就读六年级,但去年11岁时,他只用了一年时间就把O-Level数学课程学完。2024年中,他以私人考生的身分,在国际中学教育普通证书(IGCSE)的数学考试得到A。目前已有一所吉隆坡的国际学校录取他,允许他于明年跳级就读十年级(相当于国中四年级)。 他的数学思维能力早已超越同龄学生的水平,学校的数学课对他来说岂不是很沉闷?他腼腆说有时确实觉得很闷,但只要遇到有难度的题目而自己又能给出答案,心里还是会有一种快感。像去年有一堂课,老师请他向同学讲解为什么五边形的内角和是540度,他就引用“几何原本”(Euclid’s Elements)在白板讲解,当时心里确实有小小的成就感。 身为独生子,父母平时的注意力都在他身上,但他没有因此太娇气,也没有因为自己是数学小天才而一副不可一世的样子。他偶尔也会有一点挫折感,比如当他不管怎么算都得不到正确答案的时候,他就知道自己还有很多东西要学习。他曾试过用几个小时解答一道题目。 除了数学,他也很喜欢物理,偶像是量子力学的主要创始人海森堡。他对英文也有兴趣,最喜欢的读物是关于校园生活的《马洛里塔故事集》(Malory Towers)。 问他志愿是什么,他说是数据科学家,但他其实不是很清楚数据科学家到底做什么工作,只是因为父亲常跟他说数据科学与数学息息相关,所以热爱数学的他,心里似乎从小就认定自己将来会成为数据科学家。 继今年中报考IGCSE数学之后,他在10月左右也刚考完IGCSE物理和附加数学两张试卷。之前为了备考IGCSE,父母为他报读新加坡的线上补习班,主要目的是帮助他了解IGCSE的考试大纲和出题方式。补习班老师起初并不晓得他是小学生,听见他稚嫩的声音后才惊讶追问他的年龄。 父亲年少时曾讨厌数学 比起儿子的学习经历,叶逸骏年少时的学习经历则比儿子曲折多了,因为他是在新加坡上中学,新加坡的数学水平非常高,他有段时间还差点跟不上。 “当时我一个人在新加坡,我把每本书都拿来背,包括数学,但当然这是不正确的方法,我背了也不知道怎样应用。那时候我蛮讨厌数学,不过喜欢上物理。” 在新加坡求学期间,他试过数学考试不及格。但自从他知道数学是物理学的基础之后,他发奋图强要把数学学好,结果他仿佛茅塞顿开,数学成绩在半年内迅速从不及格变成A1。 中学毕业后,他去英国曼彻斯特就读物理本科,博士研究则是在伦敦布鲁内尔大学数学系完成。回国后他曾在马来亚大学数学研究所任教,目前是马来西亚诺丁汉大学数学系副教授。 让孩子明白学数学的意义 这些年他教儿子数学的方法,其实就是从他自己的学习经验还有在大学教书的经验所归纳出来。他认为,教数学应该设法让孩子明白每个步骤是怎么来的,就像振瀚所说:“如果爸爸直接给我formula,我会很好奇为什么那个formula是这样子的。” 然而,不是每个家长都有本事亲自教孩子数学,也不是每个老师都有时间仔细拆解每个步骤。他同意:“这肯定需要时间,我只有一个孩子,所以我有时间那样教他,但如果要老师对每一个学生都那样教,我觉得是不可能的。” 无论如何,培养孩子对数学的兴趣还是必须的,他认为不管是老师或家长都好,都应该想办法让孩子明白学习数学是有意义的,而不是要他们背诵了一堆公式却不知道用处何在。 近年,政府一直努力想要提高学生对科学、技术、工程与数学(STEM)的兴趣,他认为最好的方法是让孩子直接动手参与,难度不宜太高,也不需要搞太多花招。 他说:“小孩子喜不喜欢一样东西,是看大人怎样把那样东西介绍给他。”学数学也一样,小孩对数学有没有兴趣,端看大人怎样引领他们发现数学的奥秘。 更多【新教育】: 台湾学者兼诗人杨宗翰/我喜欢刺一些最极端的问题 新加坡诗人林艺君/对身分感到混乱时 写诗找出口 游走在剧场与文字间,新华作家梁海彬:未知是坚持的动力
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